Titik Keseimbangan

Titik keseimbangan sistem dinamis yang dinyatakan oleh persamaan diferensial biasa merupakan solusi dari sistem tersebut yang tidak berubah terhadap waktu (bila sistemnya gayut waktu). Misalnya pada pendulum (dalam pengaruh gaya gravitasi bumi) ketika berada pada posisi diam tergantung vertikal ke bawah, atau ke atas. Pada saat pendulum terdiam vertikal ke bawah, pendulum tidak akan bergerak sampai ada gaya luar yang bekerja padanya selain gaya gravitasi. Keadaan ini dinamakan titik keseimbangan yang stabil karena pendulum tidak mudah berubah posisi. Berbeda bila pendulum dalam keadaan diam vertikal ke atas, ketika gaya gravitasi bekerja pada pendulum walaupun tanpa gaya luar lain, pendulum akan berayun. Tentu saja ada jeda waktu sebelum pendulum mulai berayun. Dalam jeda waktu inilah pendulum berada pada titik keseimbangan. Hanya saja titik keseimbangan ini tidak stabil sehingga posisi pendulum mudah berubah.

Secara matematis, titik $x\in\mathbb{R}^{n}$ adalah titik keseimbangan untuk persamaan diferensial biasa yang berbentuk
\[
\dfrac{dx}{dt}=f\left(t,x\right)
\]
jika $f\left(t,x\right)=0$ untuk seluruh$t$.
Devinisi ini mirip dengan titik keseimbangan tertentu yaitu untuk persamaan diferensial yang berbentuk
\[
x_{k+1}=f\left(k,x_{k}\right)
\]
jika $f\left(k,x\right)=0$ untuk seluruh $k=0,1,2,\ldots$.

Contoh :

Misalkan suatu pendulum berbentuk batang silinder padat, dimana geraknya dinyatakan oleh persamaan diferensial biasa orde 2 berikut
\begin{equation}
\dfrac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+6g\sin\theta=0
\end{equation}

dengan $g$ adalah percepatan gravitasi bumi, $\theta$ adalah sudut yang dibentuk oleh pendulum. Berdasarkan definisi yang telah dijelaskan, maka titik keseimbangan pendulum diperoleh bila ruas kiri pada persamaan (1) sama dengan 0. Kondisi ini diperoleh bila$\theta=0$, sehingga suku pertama di ruas kiri sama dengan 0 serta $\sin\theta=0$. Ingat, secara matematis nilai $\sin\theta$ akan bernilai 0 bila $\theta=0,\pi,2\pi,\ldots,n\pi$ dengan $n$ adalah bilangan bulat \textit{real}. Maka titik keseimbangan dari pendulum adalah pada $\theta=0,\pi$. Bila $\theta=2\pi$, posisi pendulum akan kembali pada titik asal, seperti digambarkan berikut

Titik keseimbangan pendulum pada saat $\theta=0$

Titik keseimbangan pendulum pada saat $\theta=\pi$

Kedua gambar di atas menyatakan posisi pendulum dalam titik keseimbangannya.

Pendulum Ganda

Latar Belakang

Pada studi kasus ini disajikan tentang pendulum. Alasan dipilih pendulum karena kita sering menjumpai pendulum dalam kehidupan sehari-hari. Terlebih lagi, sejak fisika dikenalkan pada tingkat Sekolah Menengah, seakan-akan menjadi pokok bahasan wajib untuk mempelajari tentang gerak harmonik sederhana, selain pegas. Hal ini dilakukan karena pendulum merupakan suatu sistem fisis yang sederhana (bahkan sangat sederhana) tetapi memiliki perilaku yang unik. Sehingga pendulum merupakan salah satu alat yang sesuai untuk menjelaskan gerak harmonik sederhana.

Pada pembahasan kali ini, Anda akan diajak untuk melihat pendulum dari sudut pandang yang sedikit berbeda, yaitu sudut pandang “dunia taklinier”.  Anda juga akan mengetahui bagaimana pendulum menghasilkan gerakan yang begitu unik. Mulai dari gerakan yang sederhana sampai gerakan yang rumit. Mulai dari gerakan periodik, quasi periodik sampai chaotic. Dengan pendulum juga dapat dibuktian bahwa sistem dengan 1 derajat kebebasan tidak mungkin berperilaku chaotic.

Model Pendulum Ganda

Pendulum ganda merupakan penggabungan dari 2 buah pendulum tunggal. Bila pada pendulum tunggal terdapat sebuah batang silinder, maka pada pendulum ganda terdiri dari 2 buah batang silinder yang dirangkai seri. Salah satu ujung batang pertama terkait dengan poros, sedangkan ujung lainya terkait dengan batang kedua.

Gambar 1. Model sistem pendulum ganda

Model pendulum ganda ditunjukkan oleh Gambar 1 diatas. Kedua lengan A dan B berbentuk batang silinder padat dengan panjang dan massa masing-masing adalah $l_{1}$ dan $m_{1}$ untuk lengan A, serta $l_{2}$ dan $m_{2}$ untuk lengan B. Diandaikan lengan A memiliki pusat massa pada titik a dengan panjang tepat pada $\frac{l_{1}}{2}$, kemudian lengan B juga berpusat massa pada b dengan panjang $\frac{l_{2}}{2}$. Diandaikan pula sistem pendulum ganda tersebut berupa sistem tertutup, sehingga hanya gaya gravitasi g saja yang bekerja pada sistem, yaitu katakanlah $g=9,82\:\frac{m}{s^{2}}$.
Untuk menurunkan persamaan gerak, terlebih dahulu didefinisikan posisi setiap lengan. Posisi lengan A dinyatakan sebagai berikut:
\begin{equation}
x_{1}=\frac{l_{1}}{2}\sin\left(\theta_{1}\right)
\end{equation}
\begin{equation}
y_{1}=-\frac{l_{1}}{2}\cos\left(\theta_{1}\right)
\end{equation}
Maka posisi lengan B adalah
\begin{equation}
x_{2}=l_{1}\sin\left(\theta_{1}\right)+\frac{l_{2}}{2}\sin\left(\theta_{2}\right)
\end{equation}
\begin{equation}
y_{2}=-l_{1}\cos\left(\theta_{1}\right)-\frac{l_{2}}{2}\cos\left(\theta_{2}\right)
\end{equation}
Setelah mendefinisikan posisi untuk setiap lengan, langkah selanjutnya adalah melakukan analisis energi. Seperti telah disinggung, bahwa model dianggap tertutup / konservativ. Setelah salah satu lengan (baik A maupun B) diayunkan, model sistem hanya mendapatkan energi mekanis untuk mengayunkan kedua lengannya.

Energi Kinetik

Lengan A berupa batang silinder padat, sehingga memiliki momen inersia sebesar $I_{1}=\left(1/12\right)m_{1}l_{1}^{2}$, dan ujung lengan tersebut terkait dengan poros acuan (titik 0) sehingga energi kinetiknya adalah energi kinetik rotasi. Bila sudut yang dibentuk A adalah $\theta_{1}$, maka energi kinetik yang dialami oleh lengan A adalah
\begin{equation}
T_{1}=\frac{1}{2}I_{1}\dot{\theta}_{1}^{2}=\frac{1}{24}m_{1}l_{1}^{2}\dot{\theta}_{1}^{2}
\end{equation}
Lengan B membentuk sudut $\theta_{2}$ dengan momen inersia $I_{2}=\left(1/12\right)m_{2}l_{2}^{2}$ memiliki energi kinetik rotasi dan translasi ketika berayun. Adapun energi kinetik translasi pada B sebesar $\left(1/2\right)m_{2}v_{2}^{2}$, dengan $v_{2}^{2}=\left(\dot{x}_{2}^{2}+\dot{y}_{2}^{2}\right)$. Turunan posisi $x_{i}$ dan $y_{i}$ dengan $i=1,2$ dinyatakan oleh notasi $\dot{x}_{i}$ dan $\dot{y}_{i}$ (diturunkan dari persamaan 1 sampai 4). Sehingga energi kinetik yang bekerja pada lengan B adalah
\begin{equation}
T_{2}=\frac{1}{2}I_{2}\dot{\theta}_{2}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\left(\dot{x}_{2}^{2}+\dot{y}_{2}^{2}\right)
\end{equation}
Energi kinetik total yang bekerja pada pendulum ganda diperoleh dengan menjumlahkan komponen energi kinetik dari setiap lengan A dan B, sehingga diperoleh
\begin{equation}
T_{total}=T_{1}+T_{2}=\frac{1}{24}\left(l_{1}^{2}\left(m_{1}+12m_{2}\right)\dot{\theta}_{1}^{2}+4l_{2}^{2}m_{2}\dot{\theta}_{2}^{2}+12l_{1}l_{2}m_{2}\dot{\theta}_{1}\dot{\theta}_{2}\cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)\right)

\end{equation}

Energi Potensial

Energi potensial yang bekerja pada lengan A adalah $V_{1}=m_{1}gh_{1}$, sedangkan pada lengan B adalah $V_{2}=m_{2}gh_{2}$. Dalam hal ini $h_{1}=y_{1}$ dan $h_{2}=y_{2}$ sesuai dengan persamaan (1.2) dan (1.4) . Sehingga energi kinetik total yang bekerja pada pendulum ganda adalah
\begin{align*}
V_{total} & =V_{1}+V_{2}=m_{1}gy_{1}+m_{2}gy_{2}
\end{align*}
maka diperoleh
\begin{equation}
V_{total}=-m_{1}g\frac{l_{1}}{2}\cos\left(\theta_{1}\right)-m_{2}g\left(l_{1}\cos\left(\theta_{1}\right)+\frac{l_{2}}{2}\cos\left(\theta_{2}\right)\right)
\end{equation}
Notasi $g$ adalah percepatan gravitasi bumi, misalkan dapat diambil nilai $g=9,82\:\frac{m}{s^{2}}$.

Lagrangian

Lagrangian pada pendulum ganda adalah $L=T_{total}-V_{total}$. Dengan menjumlahkan energi kinetik total (7) dan energi potensial total (8), diperoleh Lagrangian sebagai berikut
\begin{equation}
L=\frac{1}{24}\left(l_{1}^{2}\left(m_{1}+12m_{2}\right)\dot{\theta}_{1}^{2}+4l_{2}^{2}m_{2}\dot{\theta}_{2}^{2}+12l_{1}l_{2}m_{2}\dot{\theta}_{1}\dot{\theta}_{2}\cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)\right)+m_{1}g\frac{l_{1}}{2}\cos\left(\theta_{1}\right)+m_{2}g\left(l_{1}\cos\left(\theta_{1}\right)+\frac{l_{2}}{2}\cos\left(\theta_{2}\right)\right)
\end{equation}

Persamaan Gerak

Dengan persamaan Euler-Lagrange
\begin{equation}
\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}_{i}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial\theta_{i}}=0
\end{equation}

notasi $i$ menyatakan indeks untuk setiap lengan pendulum, yaitu 1 untuk lengan A dan 2 untuk lengan B. Maka substitusi Lagrangian (9) pada (10) akan menghasilkan persamaan gerak berikut
\begin{equation}
\begin{array}{cc}
13\dfrac{d^{2}\theta_{1}}{dt^{2}}+6\dfrac{d^{2}\theta_{2}}{dt^{2}}\cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+6\left(\dfrac{d\theta_{2}}{dt}\right)^{2}\sin\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+\dfrac{18g\sin\left(\theta_{1}\right)}{l} & =0\\
2\dfrac{d^{2}\theta_{2}}{dt^{2}}+3\dfrac{d^{2}\theta_{1}}{dt^{2}}\cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)-3\left(\dfrac{d\theta_{1}}{dt}\right)^{2}\sin\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+\dfrac{3g\sin\left(\theta_{2}\right)}{l} & =0
\end{array}
\end{equation}
Terihat pada persamaan (11), bahwa persamaan gerak pendulum ganda tidak terkait secara langsung dengan massa setiap lengan A dan B, tetapi terkait langsung dengan panjang lengan A dan B. Dengan kata lain pergerakan setiap lengan A dan B dipengaruhi oleh panjang setiap lengannya.
Persamaan gerak pendulum ganda (11) berbentuk persamaan diferensial biasa orde 2. Bila solusi persamaan gerak menjadi tujuan utama, maka persamaan gerak tersebut dapat dimanipulasi sehingga berbentuk persamaan diferensial orde 1. Mengingat persamaan dalam bentuk orde 1 lebih mudah diselesaikan daripada bentuk orde 2 atau orde lain yang lebih tinggi.
Diandaikan $\theta_{i}=u_{i}$ dengan $i=1,2$ yang tidak lain adalah indeks untuk setiap lengan A dan B. Maka turunan pertama $\theta_{i}$ terhadap waktu adalah $\frac{d\theta_{i}}{dt}=\frac{du_{i}}{dt}=u_{i+2}$. Turunan kedua $\theta_{i}$ terhadap waktu adalah $\frac{d^{2}\theta_{i}}{dt^{2}}=\frac{d^{2}u_{i}}{dt^{2}}=\frac{du_{i+2}}{dt}$, maka persamaan (10) dapat ditulis sebagai berikut
\begin{equation}
\begin{alignedat}{1}\dfrac{du_{1}}{dt}= & u_{3}\\
\dfrac{du_{2}}{dt}= & u_{4}\\
\dfrac{du_{3}}{dt}= & \dfrac{9g\left(3\sin u_{1}+\sin\left(u_{1}-2u_{2}\right)\right)+6l\sin\left(u_{1}-u_{2}\right)\left(2u_{4}^{2}+3u_{3}^{2}\cos\left(u_{1}-u_{2}\right)\right)}{l\left(9\cos\left(2\left(u_{1}-u_{2}\right)\right)-17\right)}\\
\dfrac{du_{4}}{dt}= & \dfrac{3\left(9g\sin\left(2u_{1}-u_{2}\right)-4g\sin u_{2}+13lu_{3}^{2}\sin\left(u_{1}-u_{2}\right)+3lu_{4}^{2}\sin\left(2\left(u_{1}-u_{2}\right)\right)\right)}{l\left(17-9\cos\left(2\left(u_{1}-u_{2}\right)\right)\right)}
\end{alignedat}
\end{equation}

Solusi Persamaan Gerak

Solusi persamaan gerak yang dipilih adalah metode $\textbf{Runge-Kutta eksplisit}$.Pemilihan metode ini, dikarenakan memiliki akurasi yang lebih baik (daripada misalnya bila menggunakan metode Runge-Kutta orde 4). Berdasarkan pengalaman penulis, bila digunakan Runge-Kutta orde 4, pada masukan kondisi awal tertentu diperoleh solusi yang singular (yaitu $\textit{stepsize}$ menjadi 0). Dalam artian pada kondisi awal tertentu tidak diperoleh solusi persamaan gerak pendulum ganda. Tetapi dengan metode Runge-Kutta eksplisit, kondisi tersebut dapat sedikit diperbaiki.

Berikut adalah visualisasi solusi persamaan gerak dengan kondisi awal $\left(\theta_{1},\theta_{2}\right)=\left(\pi,0\right)$ untuk $0\leq t\leq50$. Adapun posisi kondisi awal lengan pendulum dapat digambarkan sebagai berikut

Posisi awal lengan A dan B sebelum mulai berayun

Posisi lengan A yaitu tegak lurus vertikal ke atas, sedangan lengan B vertikal tegak lurus ke bawah. Posisi ini dipilih karena merupakan salah satu titik keseimbangan sistem pendulum ganda.

Energi

Diagram Waktu

Lengan pertama A

Lengan kedua B

Terlihat garis vertikal abu-abu pada grafik energi dan waktu. Garis tersebut terletak pada $t=14,59$ detik, yang menunjukkan keadaan konstan (diam). Jadi dapat disimpulkan, secara teori kedua lengan A dan B diam selama $t=14,59$ detik sebelum mulai berayun.

Fase

Lengan pertama A

Lengan kedua B

Lintasan pusat massa kedua lengan A dan B

Animasi lintasan pusat massa A dan B pendulum ganda